三角関数ってなに？（その２）

前回は、三角関数がわからない、という場合には2パターンあり、パターン1「三角形の大きさが変わっても三角関数は変わらないの？」の話をしました。三角関数は辺の比、なので、三角形の大きさが変わっても三角関数の値は変わらない、ということでした。

今回はパターン2「直角三角形以外の三角形だとどうなるの？」という話をします。

 図のような⊿ABCを考えてみます（小文字は各辺の長さです）。
この三角形はどの角も直角ではありません。
では、∠ABCの三角関数はどのように考えればよいのでしょう。
 

 とっても簡単なことで、直角三角形ではないなら、直角三角形を作ってしまえば良いのです。
図のように、AからBCに垂線（図の赤線）を下ろして、垂線の足（BCとの交点）をHとします。

すると△ABHは∠AHBが直角なので、直角三角形。
後は前回と同じ。BHの長さをa'、AHの長さをhとすると
 
∠ABHと∠ABCは同じ角なので









ここではAからBCに垂線を下ろして直角三角形を作りましたが、直角三角形はもう一つ考えることができます。それが下の図。
 
CからABに垂線を下ろして、その足をH'とすると、∠CH'Bが直角なので△BCH'は直角三角形です。∠H'BCの三角関数は、斜辺がBCになることに注意すると

 ∠H'BCと∠ABCは同じ角なので

どちらも辺や垂線の長さの数値を入れて計算すると同じ値になります。直角三角形の考え方によって表し方が2通りある、ということ。

次回は、今回使った、直角三角形を作る、という考え方を利用して「正弦定理」を考えてみます。

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矢野健太郎さんの本はとっても丁寧で、学生時代にはとっても感銘を受けました。